Abaqus'te nonlineer statik analizler için stabilizasyon yöntemleri

Abaqus'te nonlineer statik analizler için stabilizasyon yöntemleri

Abaqus’ta doğrusal olmayan statik analizlerde yaygın bir sorun, kararsızlıkların (instabilities) ortaya çıkarak yakınsamayı (non-convergence) engellemesidir. Bu kararsızlıklar genellikle belirsiz ve fark edilmesi zor olduğundan, analizi yapan kişi çoğu zaman simülasyonun neden başarısız olduğunu ve yakınsayan bir çözüme ulaşmak için neyi düzeltmesi gerektiğini tam olarak fark edemez.

Bu nedenle, problemli modelleri çözmek için adım tanımına (step definition) bağlı otomatik dengeleme (automatic stabilization) —diğer adıyla statik dengeleme (static stabilization)— özelliğini kullanarak simülasyon çalıştırmanın Abaqus kullanıcıları arasında yaygın bir alışkanlık haline gelmiş olması şaşırtıcı değildir.

Ancak, otomatik dengeleme tüm kararsızlık problemlerini çözmek için evrensel bir araç olarak kullanılmak üzere tasarlanmamıştır. Hatta, uygunsuz şekilde kullanıldığında, gerçekçi olmayan sonuçlara yol açabilir ve bu durum maliyetli ürün hatalarına neden olabilir.

Kararsızlıkları Anlamak ve Üstesinden Gelmek

Yakınsamayı kolaylaştırmak için kararsızlıkların üstesinden gelmenin birçok yolu vardır; ancak, kararsızlıkların başlıca kaynaklarını ve bunların yakınsamama durumuna nasıl yol açtığını anlamak çok önemlidir. Şimdi, doğrusal olmama durumunun (nonlinearity) olası bazı kaynaklarını anlamakla başlayalım:

Geometri: Geometrik olarak doğrusal olmayan (geometrically nonlinear) bir analiz, yapının deforme oldukça rijitliğinin değiştiği bir analiz türüdür. Bazı örnekler şunlardır:

• Büyük sapmalar ve deformasyonlar
• Büyük dönmeler
• Yapısal kararsızlıklar (burkulma) vb.

Malzeme: Malzeme doğrusal olmaması (material nonlinearity), gerilmenin mevcut deformasyona (strain) bağlı olması durumundan kaynaklanır. Bazı yaygın etkiler şunlardır:

• Doğrusal olmayan elastikiyet
• Metal plastisitesi
• Çatlama
• Ezilme
• Boyun incelmesi (necking) vb.

Sınır (Temas): Temasın doğasından kaynaklanan kesikli rijitlik değişimi (discontinuous stiffness change). Temas, normal ve teğetsel (tangential) davranışlarla tanımlanır.

• Normal temas ya oluşur ya oluşmaz.
• Teğetsel temas ise ya açıktır, kayar (slipping) ya da yapışır (sticking).

Bunlar her zaman aniden gerçekleşen rijitlik değişiklikleri olduğundan kesikli (discontinuous) olarak sınıflandırılır.

Bu dengesizliklerin ortak temasının sertlikteki değişim olduğunu unutmayın; sertlikteki değişim ne kadar büyükse, yakınsamama riski de o kadar büyüktür.

Bunun neden önemli olduğunu anlamak için, bir problemi statik veya dinamik kılan temellere geri dönelim. Basitçe söylemek gerekirse, fark eylemsizlik etkilerinin varlığıdır:

Dinamik Denge

Statik Denge

Eylemsizlik kuvvetleri küçük olduğunda ( ma –> 0), denklem denge durumunun statik biçimine indirgenir.

Statik bir analizde, atalet etkisi bulunmaz ve çözüm, sönümleme ve rijitlikle (katılık) ilişkili bileşenler tarafından belirlenir.

Bu nedenle, eğer sistemde sönümleme yoksa ve yapı burkulma/bükülme veya malzeme yumuşaması gibi durumlarda rijitlikte ani değişimler yaşanıyorsa, ya da temas boşlukları veya serbest rijit cisim hareketi gibi durumlarda sıfır rijitlik söz konusuysa, statik çözücünün çözüme ulaşması zorlaşır.

Dolayısıyla, doğal (kendiliğinden) sönümlemenin bulunmaması, rijitlikteki ani değişimler (örneğin burkulma, bükülme veya malzeme yumuşaması gibi) ya da tamamen rijitliğin ortadan kalktığı durumlar (örneğin temas boşlukları veya serbest cisim hareketi) statik çözücünün yakınsama sağlamasını genellikle zorlaştırır.

Bu durumu aşmak için genellikle üç yaygın seçenek değerlendirilir:

1. Abaqus/Standard içinde örtük dinamik (yarı-statik) bir prosedür,
2. Abaqus/Explicit içinde dinamik bir prosedür,
3. Abaqus/Standard içinde stabilizasyon (dengeleme) kullanılan statik bir prosedür.

Statik stabilizasyonun aşırı ve yanlış kullanımı yaygın bir durumdur ve olumsuz sonuçlara yol açabileceği için bu yöntemi ne zaman uyguladığımız konusunda dikkatli olmalıyız.

Statik stabilizasyon, genellikle küresel (global) dengesizlikler veya yapının genel rijitliğinde değişimlere yol açan olaylar nedeniyle ortaya çıkan yakınsama problemlerini aşmak için kullanılır. Bu tür durumlara, yapının tamamının burkulması, malzeme yumuşaması veya serbest rijit cisim hareketi örnek verilebilir.

Bu seçenek, statik bir analiz adımı (step) tanımlanırken etkinleştirilir. Kullanmak için, örneğin sönümleme katsayısı (damping factor) veya dağıtılan enerji oranı (dissipated energy fraction) gibi mevcut seçeneklerden biri belirtilebilir.

Bir sönümleme katsayısı (damping factor) belirtirseniz, bu değer adım (step) boyunca sabit olarak kullanılır. Bu değer genellikle deneme-yanılma yöntemiyle veya önceki deneyimlere dayanarak seçilir.

Eğer dağıtılan enerji oranını (dissipated energy fraction) – yani stabilizasyon enerjisinin (ALLSD) modelin toplam şekil değiştirme enerjisine (ALLIE) oranını – kullanmayı seçerseniz, Abaqus bu oranı belirtilen değerin altında tutacak şekilde sönümleme katsayısını otomatik olarak ayarlar. Varsayılan değer 2.0e-4’tür. Ayrıca adaptif (uyarlamalı) davranışı bir tolerans değeri belirleyerek kontrol edebilirsiniz. Eğer oran bu toleransı aşarsa, Abaqus sonraki artımlarda (increments) sönümleme katsayısını otomatik olarak değiştirir. Tolerans 0 olarak ayarlanırsa, sistem başlangıçtaki enerji oranına dayalı sabit bir sönümleme katsayısı kullanır.

Bu stabilizasyon seçeneklerinin ve parametrelerinin seçimi dikkatli ve bilinçli bir şekilde yapılmalıdır. Modeldeki enerji sönümlemesi (dissipation) makul sınırlar içinde kalmalıdır. Bunu sağlamak için, tarihsel çıktı (history output) verilerinden modelin stabilizasyon enerjisini (ALLSD) ve şekil değiştirme enerjisini (ALLSE) izlemek gerekir. Bu, uygulanan stabilizasyonun modelin fiziksel davranışını önemli ölçüde etkilememesini garanti altına almak içindir.

Abaqus kılavuzu, ALLSD’nin, ALLSE’nin %5’ini geçmemesini önerir. Bu stabilizasyon enerjisi oranını minimize etmek, modelin gerçek fiziksel davranışına daha yakın sonuçlar elde edilmesine yardımcı olur. Yakınsama davranışına bağlı olarak sönümleme katsayısını otomatik ayarlayan adaptif stabilizasyon seçeneği, bu değerlerin şekil değiştirme enerjisini aşmamasını sağladığı için oldukça yararlı bir yöntemdir.

Adım tabanlı statik stabilizasyonun ne zaman ve nasıl kullanılacağına dair bu bilgilerin üzerine inşa ederek, şimdi Abaqus/Standard içindeki bir diğer yaygın stabilizasyon seçeneğine – Contact Pairs (Temas Çiftleri) ile birlikte kullanılan Contact Controls Stabilize özelliğine – odaklanacağız.

Temas Çiftlerine (Contact Pairs) Uygulanan Stabilizasyon

Daha önce de bahsettiğimiz gibi, temas (contact), doğrusal olmayan davranışların içinde en karmaşık (yüksek derecede doğrusal olmayan) türlerden biridir; çünkü bölgeler arasındaki etkileşim durumu sürekli değişebilir — yapışma (sticking), kayma (slipping) veya ayrılma (opening) şeklinde.

Cisimlerin birbirine yaklaşarak temas kurmaya çalıştığı durumlarda, tam temas sağlanmadan önce denge (equilibrium) kurulamadığı için yakınsama (convergence) sorunları yaşanabilir.

Örneğin, bir küresel baskı ucuna (spherical indenter) kuvvet uygulayarak onu ikinci bir cisme doğru hareket ettirdiğimiz bir simülasyonu düşünelim. Başlangıçta iki cisim arasında bir boşluk (gap) varken, baskı ucu rijit bir cisim gibi davranacaktır. Bunun nedeni, temas oluşmadan önce, karşı kuvvet veya tepki oluşturacak bir sınır (boundary) olmamasıdır. Dolayısıyla statik denge sağlanamaz.

Bu durumda kullanılan stabilizasyon mekanizması viskoz sönümleme (viscous damping) eklemektir; ancak bu durumu, temas yüzeyine geçici ve zayıf yaylar (weak springs) eklemek gibi düşünebiliriz. Bu sayede karşıt bir tepki kuvveti oluşur ve bu kuvvet, statik dengeye veya yakınsamaya ulaşılmasına katkı sağlar.

Bir diğer senaryo ise, iki nesne tam temas halindeyken, temas yüzeyleri arasında göreceli hareket (kayma) bulunması durumudur. Bu durumda temas durumundaki değişim, sayısal şoklara (numerical shocks) neden olabilir.
Temas çifti (contact pair) çerçevesinde uygulanan stabilizasyon, bu sayısal şokları sönümleyerek (damping) sürecin daha düzgün ve kararlı şekilde yakınsamasına yardımcı olur ve kararsızlıkları (instabilities) azaltır.

Temas çiftlerine (contact pairs) stabilizasyonu verimli bir şekilde kullanmanın yöntemleri şunlardır.

1. Stabilizasyonu ilgili Temas Çiftine (Contact Pair)

Modellerdeki kararsızlıkların yaygın bir kaynağı sınır (boundary) veya temas (contact) problemleridir. Bu nedenle, stabilizasyona ihtiyaç duyan temas çiftlerine odaklanmak, ilk teması kurmayı kolaylaştırır. Böylece kullanılan stabilizasyon miktarı en aza indirilir ve hata olasılığı azaltılır.

Stabilizasyon, adımın (step) başında temas çiftine uygulanır ve kullanıcı, bu değeri adımın sonunda sıfıra (veya çok küçük bir değere) kadar kademeli olarak düşürmeyi (ramp down) seçebilir. Bu yöntem, adımın başında aralarında boşluk (gap) bulunan temas çiftleri için (örneğin serbest rijit cisim hareketi, sayısal tekillik (DOF numerical singularity) veya bağlantısız bölgeler) en uygun yaklaşımdır.

Bunu Abaqus/CAE içerisinde yapmak için şu adımları izleyebilirsiniz:

• Bir Contact Controls tanımı oluşturun ve Automatic Stabilization (Otomatik Stabilizasyon) seçeneğini etkinleştirin.
• Ardından ilgili Contact Pair için, aşağıda Şekil 2’de gösterildiği gibi Contact Control alanındaki açılır menüden bu tanımı seçin.

2.Enerji Kontrolü

İyi bir uygulama olarak, her zaman stabilizasyon enerjisini (ALLSD) modelin toplam enerjisi (ALLSE) ile karşılaştırmak gerekir.

Genel öneri, ALLSD değerinin ALLSE’nin %5’inden az tutulması yönündedir. Ancak pratikte, bu oranı %1 veya daha da düşük bir seviyeye indirerek de yakınsama (convergence) elde etmek mümkündür. Bu nedenle, stabilizasyonu kademeli olarak azaltarak birkaç deneme yapmak genellikle faydalıdır.

Stabilizasyon yapay bir etkidir; dolayısıyla, kullanılan stabilizasyon miktarı arttıkça, çözümdeki hata olasılığı da artar.

Aşırı stabilizasyon aynı zamanda istenmeyen fiziksel olmayan davranışlara veya yakınsamama (non-convergence) problemlerine neden olabilir.

Enerji geçmişini gösteren grafik

Bu grafikte, stabilizasyon enerjisi eğrisinden (ALLSD), aşırı stabilizasyonun varlığı açıkça görülmektedir.

3. Temas Kurma Adımı (Step) Ekleme

Stabilizasyonun yol açtığı hatayı azaltmanın ve temas çiftleri içeren modellerde yakınsamayı kolaylaştırmanın bir diğer yolu, yükleme adımını iki adımda (load step) uygulamaktır.

İlk adımda stabilizasyon uygulanır, ancak maksimum yükün sadece küçük bir kısmı (1-10%) uygulanır. Bu sayede temas kurulabilir ve sonraki adımda, yük maksimum değere kademeli olarak artırılırken, stabilizasyona artık gerek kalmaz.